Pismeni zadaci

MPsIIIVAII_350

Opština
Valjevo
Škola
Valjevska gimnazija
profesor
 

1. Neka su \(P_1\) i \(P_2\) površine, a \(V_1\) i \(V_2\) zapremine neke jednakostranične kupe i lopte upisane u tu kupu. Odredi:

a) \(P_2:P_1\);

b) \(V_2:V_1\).

2. Odredi kosinus ugla između vektora \(\overrightarrow{a}\) i \(\overrightarrow{b}\) ako su vektori \(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) i \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) a takođe i vektori \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) i \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) uzajamno ortogonalni.

3. Dati su vektori \(\overrightarrow{a}=(m-1,1,m+1),\overrightarrow{b}=(2,3,1)\) i \(\overrightarrow{c}=(1,3,2)\). Odredi \(m\) tako da vektor \(\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\) bude normalan na vektor \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) i za tako dobijenu vrednost parametra \(m\) odredi zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) i \(\overrightarrow{c}\).

4. Reši sistem jednačina (\(a\in \mathbb{R}\)): $$\begin{matrix} ax & +ay & +5z &=-a \\  ax &+y  &+10z  &=-4a-1 \\  &(a-1)y &+(a-3)z  & =a+1 \end{matrix}$$

5. Dat je sistem jednačina (\(k,b\in \mathbb{R}\)): $$\begin{matrix} x &+y  &+z  &=3 \\  x &+ky  &+z  &=4 \\   x& -y &+z  &=b  \end{matrix}$$

a) Odredi vrednost parametra \(k\) tako da dati sistem nema jedinstveno rešenje.

b) Za dobijenu vrednost parametra \(k\) odredi \(b\) tako da sistem ima rešenje.

c) U slučaju da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, odredi ta rešenja.

MPsIIIVAII_334

Opština
Valjevo
Škola
Valjevska gimnazija
profesor
 

1. U loptu poluprečnika \(R\) upisana je prava kupa visine \(\frac{3}{2}R\). Na kojoj udaljenosti od vrha treba konstruisati ravan paralelnu osnovi kupe tako da razlika između površine preseka lopte i površine preseka kupe bude jednaka \(a^2\pi \)?

2. Dati su vektori \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}+3\overrightarrow{n},\overrightarrow{b}=7\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{m}-4\overrightarrow{n}\) i \(\overrightarrow{d}=7\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}\). Ako je \(\overrightarrow{m}\perp \overrightarrow{n}\) i \(\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{d}\):

a) dokaži da je \(\left | \overrightarrow{m} \right |=\left | \overrightarrow{n} \right |\);

b) odredi ugao između vektora \(\overrightarrow{m}\) i \(\overrightarrow{n}\).

3. Dati su vektori \(\overrightarrow{a}=(1,0,4),\overrightarrow{b}=(1,-1,-2)\) i \(\overrightarrow{c}=(0,1,-3)\). Izračunaj:

a) $$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\cdot ((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}))$$

b) $$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b})$$

4. Reši sistem jednačina \(k\in \mathbb{R}\): $$\begin{matrix}x &+y  &+z  &=0 \\ kx &+4y  &+z  &=0 \\  6x& +(k+2)y &+2z  & =0 \end{matrix}$$

5. Za koju vrednost realnog parametra \(a\) sistem jednačina $$\begin{matrix} 2x& -y & +z &+t  &=0 \\  x& +2y &-z  &+4t  &=2 \\  x& +7y & -4z &+11t  &=a \end{matrix}$$ ima rešenja?

MPsIIIKIII_306

Opština
Kikinda
Škola
Mašinsko-tehnička
profesor
 

1. Reši sistem jednačina u zavisnosti od parametra \(a\): $$\left\{\begin{matrix} x & +2y & -2z &=3 \\ x& +y &-z &=0 \\ 3x& -2y &+az & =3 \end{matrix}\right.$$

2. Reši sistem jednačina: $$\left\{\begin{matrix} 2x & -y & -3z &=-2 \\ x& +2y &-4z &=-1 \\ 3x& +y &+2z & =6 \end{matrix}\right.$$

3. Ako je površina kupe \(200\pi cm^2\), a izvodnica dužine \(17cm\), odredi zapreminu te kupe.

4. U pravu strostranu prizmu osnovnih ivica \(13cm,14cm\) i \(15cm\) upisana je lopta. Odredi odnos zapremina lopte i prizme.

 

Rešenja možete pronaći ovde.

MPsIIIVAII_318

Opština
Valjevo
Škola
Valjevska gimnazija
profesor
 

1. Oko lopte je opisan prav paralelopiped čije su dijagonale osnove \(d_1\) i \(d_2\). Odredi površinu tog paralelopipeda.

2. Dati su vektori \(\vec{a}=3\vec{m}+2\vec{n}-\vec{p}\) i \(\vec{b}=\vec{m}-2\vec{n}+2\vec{p}\) gde je \(\left | \vec{m} \right |=2, \left | \vec{n} \right |=3,\sphericalangle (\vec{m},\vec{n})=\sphericalangle (\vec{n},\vec{p})=\sphericalangle (\vec{m},\vec{p})=\frac{\pi }{2}\). Nađi \(\vec{}\), \(\vec{}\) i površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).

3. Dokaži da za sve vektore \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) važi: $$\left [ \left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\times  \left ( \vec{b}+\vec{c} \right ) \right ]\cdot (\vec{c}+\vec{d})=2\vec{c}\cdot (\vec{b}\times \vec{d})$$

4. Reši sistem jednačina (\(a\in \mathbb{R}\)): $$\begin{matrix} 2x &+ay &+z &=2 \\  3x &+3y & +(a-1)z &=1 \\  5x &+3y &+4z &=-1  \end{matrix}$$

5. Odredi vrednosti realnog paramerta \(a\) za koje sistem jednačina $$\begin{matrix} x &+y &-z &+4t & = &0 \\  2x &+3y & +z & +5t & = &0 \\  3x &+4y & -4z & +at & = &0 \\  x &+2y & +az & +t & = &0  \end{matrix}$$ ima netrivijalna rešenja i nađi ta rešenja.

 

MPsIIIBGII_303

Opština
Zemun
Škola
Zemunska gimnazija
profesor
Ilija Joksimović

1. Duž \(AB\) je prečnik polukruga sa centrom u tački \(O\). Unutar tog polukruga konstruisani su polukrugovi nad prečnicima \(AO\) i \(OB\). Naći površinu i zapreminu tela koje nastaje obrtanjem površi između ta tri polukruga, oko prečnika \(AB\), ako je \(AB = 20cm\).

2. U pravilnu trostranu prizmu upisana je lopta. Naći odnos površina lopte i prizme.

3. Dokazati jednakost: $$\begin{vmatrix}
x & y & z\\
a & b & c\\
a^2 & b^2 & c^2
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
bcx & cay & abz\\
1 & 1 & 1\\
a & b & c
\end{vmatrix}$$

4. Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem \(\mathbb{R}\): $$\left\{\begin{matrix}
x &+2y &-3z &=-2 \\
2x&+1y &+1z &=3 \\
3x &+3y &-2z &=7
\end{matrix}\right.$$

5. Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem \(\mathbb{R}\), za razne vrednosti parametra \(\alpha \in \mathbb{R}\): $$\left\{\begin{matrix}
2x_1 & -x_2 & +x_3 &=-1 \\
x_1 & +2x_2 & -3x_3 &= 8\\
\alpha x_1 & +x_2 & -2x_3 &= 7
\end{matrix}\right.$$

 

Rešenja možete pronaći ovde.

Vi ste ovde: Home Provera znanja Pismeni zadaci II tromesečje III godina