Pismeni zadaci

Zadatak 0800

Zbirka zadataka iz matematike za osmi razred osnovne škole, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd

 

Brojevi 2 i 3 su jedina rešenja kvadratne jednačine \(5x-6=x^2\). Dokaži.

 

Rešenje:


 

Pretpostavimo da brojevi 2 i 3 nisu jedina rešenja date jednačine. Neka je rešenje jednačine neki drugi broj, recimo \(a, a \neq 2,3\). Tada on treba da zadovoljava jednačinu, tj.

$$5a-6=a^2$$

Ta jednakost je ekvivalentna sa:
$$\Leftrightarrow a^2-5a+6=0$$
$$\Leftrightarrow a^2-2a-3a+6=0$$
$$\Leftrightarrow a(a-2)-3(a-2)=0$$
$$\Leftrightarrow (a-2)(a-3)=0$$
$$\Leftrightarrow a-2=0\vee a-3=0$$
$$\Leftrightarrow a=2 \vee a=3$$

Dobili smo da je \(a=2 \vee a=3\), a pretpostavili da \(a \neq 2,3\) što je nemoguće. Stoga su brojevi 2 i 3 jedina rešenja date jednačine.