Zadatak 0802

Zbirka zadataka iz matematike za osmi razred osnovne škole, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd

 

Ako se datom trocifrenom broju izbriše cifra desetica onda se dobija broj koji je 6 puta manji od datog. O kom broju je reč?

 

Rešenje:


 

Trocifren broj zapisujemo kao $$\overline{xyz}=100x+10y+z$$

a ako je izbrisana cifra desetica: $$\overline{xz}=10x+z$$.

Ako veći broj podelimo manjim dobijamo 6, tj. tako dolazimo do jednačine:

$$\frac{\overline{xyz}}{\overline{xz}}=6$$
$$\Leftrightarrow 100x+10y+z=6(10x+z)$$
$$\Leftrightarrow 40x+10y-5z=0$$
$$\Leftrightarrow 5(8x+2y-z)=0\; /:5$$
$$\Leftrightarrow 8x+2y-z=0$$
$$\Leftrightarrow z=8x+2y$$
$$\Leftrightarrow z=2(4x+y)$$

Svi brojevi \(x,y,z\) su jednocifreni, i broj \(x \neq 0\) jer bi tada imali dvocifreni broj. Poslednja jednakost znači da je broj \(z\) paran. Kako u istoj jednakosti imamo samo sabiranje i svi brojevi su pozitivni, broj z mora biti najveći. Rešenje tražimo od slučaja do slučaja. Krenimo od:

x=1: $$z=2(4+y)$$

Ako je \(y=0\) tada je \(z=8\). Proveravamo rešenje: 108:18=6. Dakle 108 jeste rešenje. Proverimo ima li još rešenja:

Ako je \(y=1\) tada je \(z=10\) što je nemouće jer z nije dvocifren broj.

x=2: $$z=2(8+y)=16+y$$.

Nemamo rešenja ni u ovom slučaju jer je minimalna vrednost za \(z=16\) što je nemoguće. Iz istih razloga nemamo rešenje ni u slučajevima za \(x>2\).