Zadatak 1151

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Kompleksnih brojeva koji su konjugovani svom kvadratu ima:

a) \(1\);          b) \(2\);        c) \(4\);        d) \(0\);        e) beskonačno mnogo.

Rešenje:


Neka je \(z=x+iy\). Tada, uslov da je \(z\) konjugovan svom kvadratu zapisujemo

$$\bar{z}=z^2$$
$$\Leftrightarrow x-iy=x^2-y^2+2ixy$$
$$\Rightarrow x^2-y^2-x=0 \wedge y(1+2x)=0$$

Rešenja druge jednačine sistema su \(y=0, x=-\frac{1}{2}\). Uvrstimo u prvu jednačinu i dobijemo:

za \(y=0\) je \(x_1=0, x_2=1\)

za \(x=-\frac{1}{2}\) je \(y^2=\frac{3}{4}\) i tada imamo još dva rešenja za \(y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Rešenja su \(z_1=0, z_2=1, z_3=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, z_4=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Tačan odgovor je c).