Pismeni zadaci

Zadatak 1152

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Kompleksnih brojeva \(z=x+iy\) za koje je \(z\left | z \right |+4z+5\bar{z}+2i=0\) ima:

a) \(0\);          b) \(3\);         c) \(2\);         d) \(1\);         e) više od tri, ali konačno mnogo.

Rešenje:


Neka je \(z=x+iy, x,y \in \mathbb{R}\), data jednačina postaje:

$$(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}+4x+4iy+5x-5iy+2i=0$$

Ako razdvojimo realne i imaginarne delove dobijamo sistem:

$$x\sqrt{x^2+y^2}+9x=0$$
$$y\sqrt{x^2+y^2}-y+2=0$$

Iz prve jednačine je \(x=0\) pa zamenom u drugu dobijamo jednačinu:

$$y\sqrt{y^2}-y+2=0$$
$$\Leftrightarrow y\left | y \right |-y+2=0$$

1) \(y>0\), jednačina postaje: \(y^2-y+2=0\) koja nema realnih rešenja.

2) \(y<0\), jednačina postaje: \(-y^2-y+2=0\) čija su rešenja \(y_1=-2,y_2=1\) a zboh uslova rešenje je samo\(y_1=-2).

Jedino ješenje je \(z=-2i\)

Tačan odgovor je d).


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za II razred Kompleksni brojevi Rešavanje kompleksnih jednačina Zadatak 1152