Zadatak 0239

Test: MPsIIJAII_049

 

U jednačini   \((k-1)x^2+(k-5)x-(k+2)=0\)   odredi parametar k tako da je \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<2\).

 

Rešenje:


 

\((k-1)x^2+(k-5)x-(k+2)=0\)

 

\(x_{1}+x_{2}=-\frac{k-5}{k-1}\)

 

\(x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{k+2}{k-1}\)

 

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<2\)

 

\(\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}<2\)   \(\Leftrightarrow \frac{(k-5)^2}{(k-1)^2}+2\frac{k+2}{k-1}<2\)

\(\Leftrightarrow \frac{(k-5)^2+2(k+2)(k-1)-2(k-1)^2}{(k-1)^2}<0\)

 

\(\Leftrightarrow \frac{k^2-10k+25+2k^2+2k-4-2k^2+4k-2}{(k-1)^2}<0\)

 

\(\Leftrightarrow \frac{k^2-4k+19}{(k-1)^2}<0\)

 

\(\Leftrightarrow k^2-4k+19<0\)

 

Poslednja nejednačina nema rešenja, s obzirom da je \(D<0, a=1\). Konačno rešenje je \(k\in \varnothing \).