Pismeni zadaci

Zadatak 1106

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Broj rešenja jednačine \(\sqrt{3x+13}-\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+3}\)

a) \(0\);          b) \(1\);        c) \(2\);        d) \(3\);        e) bar \(4\).

Rešenje:


Odredimo skup kojem rešenja moraju da pripadaju:

$$3x+13\geq 0\wedge  x-1\geq 0 \wedge x+3\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x\geq -\frac{13}{3}\wedge x\geq 1\wedge x\geq -3$$
$$\Leftrightarrow x\geq 1$$

Rešavamo jednačinu:

$$\sqrt{3x+13}-\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+3}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{3x+13}=2\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1} \; /(...)^2$$
$$\Leftrightarrow 3x+13=4(x+3)+4\sqrt{(x+3)(x-1)}+x-1$$
$$\Leftrightarrow -2x+2=4\sqrt{x^2+2x-3}$$
$$\Leftrightarrow -x+1=2\sqrt{x^2+2x-3}$$

Izraz pod korenom je nenegativan (jer \(x\geq 1\)) a treba da bude i \(-x+1 \geq 0\), tj. \(x\leq 1\) te prema uslovima koje već imamo jedino rešenje bi moralo biti \(x=1\), ali to treba i da potvrdimo:

$$2\sqrt{x^2+2x-3}=-x+1 \; /(...)^2$$
$$\Rightarrow 4(x^2+2x-3)=x^2-2x+1$$
$$\Leftrightarrow 3x^2+10x-13=0$$
$$\Rightarrow x_1=1\vee x_2=-\frac{13}{3}$$

Tačan odgovor je b).