Zadatak 1107

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Ako \(x\) zadovoljava jednačinu \(\sqrt[3]{x^-9}-\sqrt[3]{x-9}=3\), onda \(x^2\) pripada intervalu:

a) \((75,85)\);          b) \((55,65)\);         c) \((65,75)\);         d) \((45,55)\);         e) \((85,95)\).

Rešenje:


Uvedimo smene \(\) i \(\). Jednačina je tada

$$a-b=3 \; /(...)^3$$
$$\Leftrightarrow a^2-3a^2b+3ab^2-b^3=27$$

Iz "smene" \(a^3=x+9\) i \(b^3=x-9\), pa je dalje

$$x+9-3\sqrt[3]{(x-9)(x+9)}\cdot 3-(x-9)=27$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-81}=-1$$
$$\Leftrightarrow x^2-81=-1$$
$$\Leftrightarrow x^2=80$$

Tačan odgovor je a).