Pismeni zadaci

Zadatak 1108

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Data je jednačina \(\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}=1\). Zaokruži tačan odgovor:

a) Jednačina ima tri rešenja u intervalima \((-\infty ,-1]\cup (1,+\infty )\);

b) Jednačina ima samo jedno rešenje koje je u intervalu \((-\infty ,-1]\);

c) Jednačina ima samo jedno rešenje koje je u intervalu \([1,+\infty )\);

d) Jednačina ima dva realna negativna rešenja;

e) Jednačina nema rešenja.

Rešenje:


Uvedimo smenu:

$$\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}=t$$

Drugi koren je tada:

$$\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}\cdot \frac{\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}}$$

$$=\frac{\sqrt[3]{x^2-(x^2-1)}}{\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}}=\frac{1}{t}$$

Sada rešimo jednačinu po \(t\):

$$t+\frac{1}{t}=1 \wedge t\neq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{t^2-t+1}{t}=0 \wedge t\neq 1$$
$$\Leftrightarrow t^2-t+1=0 \wedge t\neq 1$$

Ova kvadratna jednačina nema realnih rešenja, pa ni polazna jednačina nema rešenja.

Tačan odgovor je e).