Pismeni zadaci

Zadatak 1109

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Koliko rešenja ima jednačina \(\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}=2\)?

a) ima tačno jedno rešenje;

b) ima tačno dva rešenja;

c) ima tačno tri rešenja;

d) ima beskonačno mnogo rešenja;

e) nema rešenja.

Rešenje:


Primetimo da je \(x+3+2\sqrt{x+2}=(\sqrt{x+2}+1)^2\) i \(x+3-2\sqrt{x+2}=(\sqrt{x+2}-1)^2\).

$$\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}=2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x+2}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x+2}-1)^2}=2$$
$$\Leftrightarrow \left | (\sqrt{x+2}+1) \right |+\left | (\sqrt{x+2}-1) \right |=2$$

Kako je \(\sqrt{x+2}+1\) pozitivno za svako realno \(x\) za koje je definisan koren \(\sqrt{x+2}\). Jednačina postaje:

$$\sqrt{x+2}+1+\left | \sqrt{x+2}-1 \right |=2 \wedge x\geq -2$$

Razlikujemo dva slučaja:

1) Za $$x\geq -2\wedge \sqrt{x+2}-1\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x\geq -2\wedge x+2\geq 1$$
$$\Leftrightarrow x\geq -2\wedge x\geq -1$$
$$\Leftrightarrow x\geq -1$$

Rešavanjem jednačine imamo:

$$\sqrt{x+2}+1+\sqrt{x+2}-1=2$$
$$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}=2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=1$$
$$\Leftrightarrow x=-1$$

Ta vrednost pripada skupu rešenja, pa je \(x=-1\) jedno rešenje.

2) Za

$$x\geq -2\wedge \sqrt{x+2}-1 < 0$$
$$\Leftrightarrow x\geq -2\wedge x+2 < 1$$
$$\Leftrightarrow x\geq -2\wedge x < -1$$
$$\Leftrightarrow -2\leq x<-1$$

biće jednačina:

$$\sqrt{x+2}+1-\sqrt{x+2}+1=2$$
$$\Leftrightarrow 0=0$$

pa su svi brojevi iz intervala \([-2,-1)\) rešenja jednačine.

 

Objedinjavanjem rešenja pod 1) i 2) rešenja jednačine čine svi brojevi iz intervala \([-2,-1]\)

Tačan odgovor je d).