Pismeni zadaci

Zadatak 1116

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Zbir svih realnih rešenja jednačine \((3+2\sqrt{2})^{2(x^2-7x+10)}+1=6(3+2\sqrt{2})^{x^2-7x+10}\) jednak je:

a) \(7\);           b) \(14\);          c) \(10\);          d) \(-14\);          e) \(-7\).

Rešenje:


Uvedimo smenu: \((3+2\sqrt{2})^{x^2-7x+10}=t\).

Jednačina postaje

$$t^2-6t+1=0$$
$$\Rightarrow t_1=3+2\sqrt{2}, t_2=3-2\sqrt{2}$$

Rešavamo jednačine koje su posledica uvođenja smene:

$$(3+2\sqrt{2})^{x^2-7x+10}=3+2\sqrt{2}$$
$$\Leftrightarrow x^2-7x+10=1$$
$$\Leftrightarrow x^2-7x+9=0$$
$$\Rightarrow x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{2}$$

$$(3+2\sqrt{2})^{x^2-7x+10}=3-2\sqrt{2}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=(3+2\sqrt{2})^{-1}$$
$$\Leftrightarrow x^2-7x+10=-1$$
$$\Leftrightarrow x^2-7x+11=0$$
$$\Rightarrow x_3=\frac{7+\sqrt{3}}{2},x_4=\frac{7-\sqrt{3}}{2}$$

Kako je \(x_1+x_2=7\) i \(x_3+x_4=7\), to je zbir svih realnih rešenja jednak \(14\)

Tačan odgovor je b).