Zadatak 0977

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Ako je $$\frac{1}{\tan ^2x}+\frac{1}{\cot ^2x}+221\left ( \frac{1}{\sin ^2x}+\frac{1}{\cos ^2x} \right )=1996; \; x\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi  \right )$$ onda je \(\sin 2x\) jednako:

a) \(-\frac{2}{3}\);          b) \(\frac{2}{3}\);          c) \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\);          d) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\);          e) \(--\frac{3}{4}\).

Rešenje:


$$\frac{1}{\tan ^2x}+\frac{1}{\cot ^2x}+221\left ( \frac{1}{\sin ^2x}+\frac{1}{\cos ^2x} \right )=1996$$
$$\Leftrightarrow \frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}+\frac{\sin ^2x}{\cos ^2x}+221\cdot \frac{\cos ^2x+\sin ^2x}{\sin ^2x\cdot \cos ^2x}=1996$$
$$\Leftrightarrow \cos ^4x+\sin ^4x+221=1996\sin ^2x\cdot \cos ^2x$$
$$\Leftrightarrow (\cos ^2x+\sin ^2x)^2+221=1998\sin ^2x\cdot \cos ^2x$$
$$\Leftrightarrow \frac{999}{2}\sin ^22x=222$$
$$\Leftrightarrow \sin ^22x=\frac{4}{9}$$

Iz uslova \(x\in \left ( \frac{\pi }{2},\pi  \right )\) je \(2x \in (\pi ,2\pi )\) i \(\sin x<0\) pa je konačno \(\sin 2x=-\frac{2}{3}\).

Tačan odgovor je a).