Zadatak 0978

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Ako su  \(\tan x=-\frac{1}{2}, x\in \left ( \frac{\pi }{2}, \pi \right )\) i \(\tan y=3,y\in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )\), tada je \(\sin (x+y)\) jednako:

a) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\);          b) \(\frac{\sqrt{2}}{10}\);          c) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\);          d) \(-\frac{1}{6}\);          e) \(\frac{7\sqrt{2}}{10}\).

Rešenje:


Prema datim podacima \(\cos x<0\) i \(\cos y>0\), tj. $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}$$ i $$\cos y=-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$, pa onda sledi da je $$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$

$$=\cos x\cos y(\tan x+\tan y)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Tačan odgovor je a).