Zadatak 0990
- Detalji
- Kategorija: Adicione formule
- Objavljeno 14 februar 2014
- Autor Super User
- Pogodaka: 1416
Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)
Ako je $$\cos 2\alpha =-\frac{63}{65}, \cos \beta =\frac{7}{\sqrt{130}}; \alpha ,\beta \in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$$ tada je \(\alpha +\beta \):
a) \(\frac{\pi }{4}\); b) \(\frac{\pi }{3}\); c) \(\frac{\pi }{2}\); d) \(\frac{2\pi }{3}\); e) \(\frac{3\pi }{4}\).
Rešenje:
Iz jednakosti $$\cos ^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}=\frac{1}{65}, \alpha \in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$$
$$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{65}}$$
A onda je: $$\sin \alpha =+\sqrt{1-\cos ^2\alpha }=\sqrt{\frac{64}{65}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$$
Slično, \(\beta \in \left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )\) pa je:
$$\sin \beta =+\sqrt{1-\cos ^2\beta }=\sqrt{\frac{81}{130}}=\frac{9}{\sqrt{130}}$$
Iz adicionih formula dobijemo:
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $$
$$=\frac{1}{\sqrt{65}}\cdot \frac{7}{\sqrt{130}}-\frac{8}{\sqrt{65}}\cdot \frac{9}{\sqrt{130}}=-\frac{65}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{130}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta $$
$$=\frac{8}{\sqrt{65}}\cdot \frac{7}{\sqrt{130}}+\frac{1}{\sqrt{65}}\cdot \frac{9}{\sqrt{130}}=\frac{65}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{130}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Odatle imamo da je \(\alpha +\beta =\frac{3\pi }{4}\)
Tačan odgovor je e).