Pismeni zadaci

Zadatak 0968

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Vrednost izraza $$\cos ^2x+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}+x)+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}-x)$$ jednaka je:

a) \(\frac{3}{2}\);          b) \(\frac{3}{4}\);         c) \(3\);         d) \(\frac{2}{3}\);         e) \(\frac{4}{3}\).

Rešenje:


Koristeći transformacije $$\cos ^2(\frac{2\pi }{3}+x)=(\cos \frac{2\pi }{3}\cos x-\sin \frac{2\pi }{3}\sin x)^2$$

$$=(-\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x)^2$$

$$=\frac{1}{4}\cos ^2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x+\frac{3}{4}\sin ^2x$$

tj. $$\cos ^2(\frac{2\pi }{3}-x)=(\cos \frac{2\pi }{3}\cos x+\sin \frac{2\pi }{3}\sin x)^2$$

$$=(-\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x)^2$$

$$=\frac{1}{4}\cos ^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\cos x+\frac{3}{4}\sin ^2x$$

Početni izraz postaje:

$$\cos ^2x+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}+x)+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}-x)$$

$$=\frac{3}{2}(\cos ^2x+\sin ^2x)=\frac{3}{2}$$

Tačan odgovor je a).


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za II razred Trigonometrija Složeniji trigonometrijski izrazi Zadatak 0968