Zadatak 1110

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Nejednakost \(x+1>\sqrt{5-x}\) je tačna ako i samo ako je:

a) \(1<x \leq 5\);          b) \(x<2\) ili \(x>1\);        c) \(-2<x<1\);        d) \(-1<x \leq 5\);        e) \(x<-2\).

Rešenje:


Data nejednačina je oblika \(\varphi (x)>\sqrt[n]{f(x)}\), gde je \(n\) paran broj, i njeno rešenje se dobija rešavanjem sledećeg sistema nejednačina:

$$f(x)\geq 0\wedge \varphi (x)>0\wedge (\varphi (x))^n>f(x)$$

U našem slučaju imamo:

$$x+1>\sqrt{5-x}$$
$$\Leftrightarrow 5-x\geq 0\wedge x+1>0\wedge (x+1)^2>5-x$$
$$\Leftrightarrow x\leq 5\wedge x>-1\wedge x^2+2x+1>5-x$$
$$\Leftrightarrow -1<x\leq 5\wedge x^2+3x-4>0$$
$$\Leftrightarrow -1<x\leq 5\wedge (-4<x\vee x>1)$$
$$\Leftrightarrow 1<x\leq 5$$

Tačan odgovor je a).