Zadatak 1111

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Skup svih vrednosti \(x\) za koje je tačna nejednačina \(\sqrt{x+2}>4-x\)

a) \([-2,2)\);          b) \((2,+\infty )\);        c) \((-2,4)\);        d) \((2,7)\);        e) \((-\infty ,2)\cup (7,+\infty )\).

Rešenje:


Data nejednačina je oblika \(\sqrt[n]{f(x)}>\varphi (x)\), gde je \(n\) paran broj. Za rešavanje takvih nejednačina koristimo sledeću ekvivalenciju:

$$\sqrt[n]{f(x)}>\varphi (x)$$

$$\Leftrightarrow [f(x)\geq 0\wedge \varphi (x)<0]\vee [f(x)\geq 0\wedge \varphi (x)\geq 0\wedge (\varphi (x))^n>f(x)]$$

U ovom zadaku imamo:

$$\sqrt{x+2}>4-x$$
$$\Leftrightarrow [x+2\geq 0\wedge 4-x<0]\vee [x+2\geq 0\wedge 4-x\geq 0\wedge x+2>(4-x)^2]$$
$$\Leftrightarrow [x\geq -2\wedge x>4]\vee [x\geq -2\wedge x\leq 4\wedge x+2>16-8x+x^2]$$
$$\Leftrightarrow [x>4]\vee [-2\leq x\leq 4\wedge x^2-9x+14<0]$$
$$\Leftrightarrow [x>4]\vee [-2\leq x\leq 4\wedge 2< x<7]$$
$$\Leftrightarrow [x>4]\vee [-2< x\leq 4] $$
$$\Leftrightarrow x>2$$

Tačan odgovor je b).