Pismeni zadaci

Zadatak 1117

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Skup realnih vrednosti za \(x\) za koje je tačna nejednakost \(7^{1+x}+7^{1-x}<50\) je:

a) \((-\infty ,+\infty )\);          b) \((-\infty ,-1]\);        c) \((-1,1)\);        d) \([1,+\infty )\);        e) \((-2,2)\).

Rešenje:


Malo transformišemo nejednakost:

$$7^{1+x}+7^{1-x}<50$$
$$\Leftrightarrow 7\cdot 7^x+7\cdot (7^x)^{-1}<50$$

Uvedemo smenu \(7^x=t, t>0\)

$$\Leftrightarrow 7t+7\cdot \frac{1}{t}<50\wedge t\neq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{7t^2-50t+7}{t}<0\wedge t\neq 0$$

Kako je \(7^x=t, t>0\) poslednja nejednakost će biti tačna kada je brojilac manji od nule, odnosno

$$7t^2-50t+7<0$$
$$\Leftrightarrow 7(t-7)(t-\frac{1}{7})<0$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{7}<t<7$$

Za \(7^x=t, t>0\) biće

$$\frac{1}{7}<7^x<7$$
$$\Leftrightarrow 7^{-1}<7^x \wedge 7^x<7$$
$$\Leftrightarrow -1<x \wedge x<1$$
$$\Leftrightarrow -1<x<1$$

Tačan odgovor je c).