Pismeni zadaci

Zadatak 1123

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Zbir svih rešenja jednačine \(x^{1+\log_2x}=4\) je:

a) \(\frac{9}{4}\);          b) \(\frac{1}{3}\);         c) \(\frac{1}{4}\);         d) \(1\);         e) \(2\).

Rešenje:


Logaritamska funkcija je definisana samo za pozitivne realne brojeve, odnosno za \(x>0\). Slučaj \(x=1\) posebno proveravamo:

$$1^{1+\log_21}=1^{1+1}=1\neq 4$$

odakle zaključujemo da \(x=1\) nije rešenje jednačine.

$$x^{1+\log_2x}=4  \; \; /\log_2(...)$$
$$\Leftrightarrow \log_2x^{1+\log_2x}=\log_22^2$$
$$\Leftrightarrow (1+\log_2x)\log_2x=2$$

Uvedimo smenu: \(\log_2x=t\)

$$\Leftrightarrow (1+t)t=2$$
$$\Leftrightarrow t^2+t-2=0$$
$$\Leftrightarrow (t+2)(t-1)=0$$
$$\Leftrightarrow t_1=-2 \vee t_2=1$$

$$\Leftrightarrow \log_2x=-2\vee \log_2x=1$$
$$\Leftrightarrow x_1=\frac{1}{4}\vee x_2=2$$

Zbir je jednak \(\frac{9}{4}\).

Tačan odgovor je a).