Zadatak 1124

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Proizvod kvadrata svih rešenja jednačine \(3^{(\log_3x)^2}+x^{\log_3x}=162\)  je:

a) \(9\);          b) \(81\);        c) \(\frac{1}{9}\);        d) \(\frac{1}{81}\);        e) \(1\).

Rešenje:


Da bi \(\log_3x\) bilo definisano mora da je \(x>0\) (i \(x=1\) nije rešenje jednačine - što treba i proveriti)) sada možemo da rešavamo:

$$3^{(\log_3x)^2}+x^{\log_3x}=162$$
$$\Leftrightarrow 3^{\log_3x\cdot \log_3x }+x^{\log_3x}=162$$
$$\Leftrightarrow (3^{\log_3x})^{\log_3x }+x^{\log_3x}=162$$
$$\Leftrightarrow x^{\log_3x}+x^{\log_3x}=162$$
$$\Leftrightarrow 2x^{\log_3x}=162$$
$$\Leftrightarrow x^{\log_3x}=81 \; \; /\log_3(...)$$
$$\Leftrightarrow \log_3(x^{\log_3x})=\log_33^4$$
$$\Leftrightarrow (\log_3x)\log_3x=4$$
$$\Leftrightarrow (\log_3x)^2=4$$

Uvedemo smenu \(\log_3x=t\) pa dobijamo

$$t^2=4$$
$$\Leftrightarrow (t-2)(t+2)=0$$
$$\Leftrightarrow t_1=2\vee t_2=-2$$
$$\Leftrightarrow \log_3x=2\vee \log_3x=-2$$
$$\Leftrightarrow x_1=9 \vee x_2=\frac{1}{9}$$

Obe vrednosti u pozitivne i jesu rešenja jednačine. Proizvod kvadrata je \(\left ( \frac{1}{9} \right )^2\cdot 9^2=1\)

Tačan odgovor je e).