Pismeni zadaci

Zadatak 1125

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Rešenje jednačine \(\log_3(3-2\cdot 3^{x+1})=2+2x\)

a) \([-8,-4]\);          b) \([-4,0]\);         c) \([0,4]\);         d) \([4,8]\);         e) \([8,12]\).

Rešenje:


Rešenje treba da zadovoljava uslov \(3-2\cdot 3^{x+1}>0\). Rešenje ove jednačine nije tako jednostavno pa možemo drugačije da postupimo. Kada odredimo rešenje ispitamo da li je jednačina definisana za tu vrednost.

$$\log_3(3-2\cdot 3^{x+1})=2+2x\; \; /3^{(...)}$$
$$\Leftrightarrow 3^{\log_3(3-2\cdot 3^{x+1})}=3^{2+2x}$$
$$\Leftrightarrow 3-2\cdot 3^{x+1}=3^{2+2x}$$

Uvedemo smenu \(3^x=t\):

$$3-2\cdot 3\cdot t=9\cdot t^2$$
$$\Leftrightarrow 3t^2+2t-1=0$$
$$\Leftrightarrow 3(t+1)(t-\frac{1}{3})=0$$
$$\Rightarrow t_1=-1\vee t_2=\frac{1}{3}$$

Jednačina \(3^x=-1\) nema rešenja, a jednačina \(3^x=\frac{1}{3}\) ima rešenje \(x=-1\). Proverimo samo još da li je logaritam u polaznoj jednačini definisan:

$$3-2\cdot 3^{-1+1}=3-2\cdot 1=1>0$$

Dakle, vrednost \(x=-1\) jeste rešenje.

Tačan odgovor je b).