Pismeni zadaci

Zadatak 1128

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Skup realnih vrednosti \(x\) za koje je tačna nejednačina \(\log_x2<1\) je:

a) \((2,+\infty )\);           b) \((0,1)\cup(2,+\infty )\);         c) \((1,+\infty )\);         d) \((1,2 )\);         e) \((0,1)\cup(1,2)\).

Rešenje:


Napišemo broj jedan ovako: \(1=\log_xx\).

$$\log_x2<\log_xx$$

Dobijena nejednačina je oblika:

$$\log_Af(x)<\log_Ag(x),\; \; A>0,A\neq 1$$

Rešenje se nalazi zavisno od slučaja:

1) \(0<A<1\):

$$\log_Af(x)<\log_Ag(x)\Leftrightarrow f(x)>g(x)\wedge g(x)>0$$

2) \(A>1\)

$$\log_Af(x)<\log_Ag(x)\Leftrightarrow f(x)<g(x)\wedge f(x)>0$$

Kako je u našoj nejednačini \(x\) osnova logaritma, onda \(x\) mora biti i pozitivan i različit od nule, odnosno \(x>0, x\neq 1\). Zato ćemo razlikovati dva slučaja:

1) Za \(0<x<1\):

$$\log_x2<\log_xx$$
$$\Leftrightarrow 2>x\wedge x=0$$
$$\Leftrightarrow 0<x<2$$

Presek skupova rešenja i uslova ovog slučaja je skup \((0,1)\).

2) Za \(x>1\):

$$\log_x2<\log_xx$$
$$\Leftrightarrow 2<x\wedge 2>0$$
$$\Leftrightarrow x>2$$

U ovom slučaju je rešenje \((2,+\infty )\).

Konačno, rešenje nejednačine je unija skpupova koje smo dobili u oba slučaja: \((0,1)\cup(2,+\infty )\).

Tačan odgovor je b).