Pismeni zadaci

Zadatak 1129

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Skup realnih vrednosti \(x\) za koje je tačna nejednačina \(\log_{2x}(x^2+1)<1\) je:

a) \((0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1)\);          b) \((0,\frac{1}{2})\);        c) \((0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},+\infty )\);        d) \((1,+\infty )\);        e) \((0,1)\).

Rešenje:


Predstavimo broj jedan kao \(1=\log_{2x}2x\). Polazna nejednačina je ekvivalentna sa nejednačinom

$$\log_{2x}(x^2+1)<\log_{2x}2x$$

Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, tj.razlikujemo dva slučaja:

1) Za \(0<2x<1\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2}\) biće

$$x^2+1>2x \wedge 2x>0$$
$$\Leftrightarrow x^2-2x+1>0 \wedge x>0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2>0 \wedge x>0$$
$$\Leftrightarrow x\neq 1\wedge x>0$$

Skup rešenja u ovom slučaju je \((0,\frac{1}{2})\)

2) Za \(2x>1\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}\) biće

$$x^2+1<2x\wedge x^2+1>0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2<0\wedge x\in \mathbb{R}$$
$$\Leftrightarrow x\in \varnothing $$

Skup rešenja je u ovom slučaju prazan.

Konačno rešenje je unija skupova rešenja pod 1) i 2), tj. skup \((0,\frac{1}{2})\)

Tačan odgovor je b).