Zadatak 1130

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Rešenja nejednačine \(\log_{\frac{1}{9}}(x^2-4)\geq \log_{\frac{1}{9}}(2\left | x \right |-1)\) su intervali:

a) \([-1,3)\);          b) \((-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )\);        c) \([3,+\infty )\);        d) \((-4,-3]\cup [3,4)\);        e) \([-3,-2)\cup (2,3]\).

Rešenje:


Kako je osnova logaritma manja od jedan, nejednačina je ekvivalentan sa sledećim sistemom nejednačina:

$$\log_{\frac{1}{9}}(x^2-4)\geq \log_{\frac{1}{9}}(2\left | x \right |-1)$$
$$\Leftrightarrow x^2-4\leq 2\left | x \right |-1 \wedge x^2-4> 0$$
$$\Leftrightarrow x^2-2\left | x \right |-3 \leq 0\wedge (x-2)(x+2)>0$$
$$\Leftrightarrow x^2-2\left | x \right |-3 \leq 0\wedge (x<-2 \vee x>2)$$

1) Za \(x<-2\) biće:

$$x^2+2x-3\leq 0$$
$$\Leftrightarrow (x+3)(x-1)\leq 0$$
$$\Leftrightarrow -3\leq x\leq 1$$

Rešenje je presek uslova i dobijenog rešenja: \([-3,-2)\).

2) Za \(x>2\) biće:

$$x^2-2x-3\leq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-3)(x+1)\leq 0$$
$$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 3$$

Rešenje je presek uslova i dobijenog rešenja: \((2,3]\).

Konačno rešenje je unija skpova pod 1) i 2).

Tačan odgovor je e).