Pismeni zadaci

Zadatak 0120

Test: MPsIIIJAI_023

 

Stranice trougla su a=10cm, b=17cm i c=21cm. Izračunati zapremine tela koja nastaju kada dati trougao rotira oko svake stranice.

 

Rešenje:


 slika uz zadatak 0120a

 slika uz zadatak 0120b

 

 

 

U svakom od slučajeva dobija se telo koje se sastoji od dve kupe sa zajedničkom osnovom (osim ako je trougao pravougli - što nije slučaj jer ne važi Pitagorina teorema). Ako je trougao oštrougli zapremine dveju kupa se uvek sabiraju. U slučaju tupouglog trougla dva puta oduzimamo zapremine a jednom sabiramo. Kao što će pokazati račun na kraju je nebitno koje vrste je trougao jer se dobije univerzalna formula zapremine dobijenog tela: 

 

I slučaj (slika levo):

 

\(h_{b}=r_{1}=r_{2}; H_{1}=b+x, H_{2}=x\)

 

\(V=V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi (b+x)-\frac{1}{3}\cdot r^2\pi x\)

 

\(V=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi (b+x-x)=\frac{1}{3}\cdot h_{b}^2\pi b\)

 

II slučaj (slika desno):

 

\(h_{c}=r_{1}=r_{2}; H_{1}=c-x, H_{2}=x\)



\(V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi (c-x)+\frac{1}{3}\cdot r^2\pi x\)


\(V=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi (c-x+x)=\frac{1}{3}\cdot h_{c}^2\pi c\)

Dakle, bilo da se zapremine sabiraju ili oduzimaju, važi:

 

\(V_{a}=\frac{1}{3}\cdot h_{a}^2\pi \cdot a,V_{b}=\frac{1}{3}\cdot h_{b}^2\pi \cdot b,V_{c}=\frac{1}{3}\cdot h_{c}^2\pi \cdot c\)

 

\(s=\frac{10+17+21}{2}=\frac{48}{2}=24\)

 

\(P=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 2\cdot 7\cdot 7\cdot 3}=3\cdot 7\cdot 4=84\)

 

\(h_{a}=\frac{2P}{a}=\frac{168}{10}=\frac{84}{5};h_{b}=\frac{168}{17};h_{c}=\frac{168}{21}=8\)

 

\(V_{a}=\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{84}{5} \right )^2\cdot \pi \cdot 10=\frac{4704}{5}\pi cm^2\)

 

\(V_{b}=\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{168}{17} \right )^2\cdot \pi \cdot 17=\frac{9408}{17}\pi cm^2\)

 

\(V_{c}=\frac{1}{3}\cdot  8 ^2\cdot \pi \cdot 21=448\pi cm^2\).

 


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za III razred Stereometrija Površine i zapremine obrtnih tela Zadatak 0120