Pismeni zadaci

Zadatak 0268

Test: MPsIIIJAIII_055

 

Odredi jednačinu elipse koja dodiruje pravu \(x+4y-10=0 \) u tački \(M=(2,y)\).

 

Rešenje:


 

Tačka M pripada i pravoj i elipsi pa njenu y-koordinatu možemo odmah odrediti:

 

\(2+4y-10=0\)

 

\(y=2, M=(2,2)\).

 

Jednačinu prave napišemo u eksplicitnom obliku (zbog k i n):

 

\(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}\)

 

\(k=\frac{1}{4}, n=\frac{5}{2}\).

 

 Potrebno je odrediti \(a^2, b^2\). Radi lakšeg računanja uvedimo oznake \(m=a^2, n=b^2\). Prvu jednačinu dobijemo iz uslova da tačka M pripada elipsi, a drugu iz činjenice da je data prava tangenta elipse:

 

\(\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\wedge \frac{a^2}{16}+b^2=\frac{25}{4}\)

 

\(\frac{4}{m}+\frac{4}{n}=1\wedge \frac{m}{16}+n=\frac{25}{4}\)

 

\(4n+4m=mn\wedge m+16n=100, m=100-16n\)

 

\(4n+400-64n=n(100-16n)\)

 

\(n^2-10n+25=0\)

 

\((n-5)^2=0\)

 

\(n=b^2=5, m=a^2=20\);

 

Jednačina tražene elipse je:

 

\(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1\).

 


 

 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za III razred Analitička geometrija Elipsa Zadatak 0268