Pismeni zadaci

Zadatak 0266

Test: MPsIIIJAIII_054

 

Prava  \(x-\sqrt{2}y+2=0\)  seče hiperbolu  \(3x^2-2y^2=12\). Odredi površinu trougla kojeg grade data prava i tangente u presečnim tačkama prave i hiperbole.

 

Rešenje:


 

 hiperbola, tangente, površina trouglaNajpre odredimo presečne tačke prave i hiperbole kao rešenje sistema njihovih jednačina:

 

\(3x^2-2y^2=12\)

 

\(x=y\sqrt{2}-2\)

 

\(3(y\sqrt{2}-2)^2-2y^2=12\)

 

\(6y^2-12y\sqrt{2}+12-2y^2=12\)

 

\(4y^2-12y\sqrt{2}=0/:4\)

 

\(y^2-3y\sqrt{2}=0\)  \(\Leftrightarrow y(y-\sqrt{2})=0\) \(\Leftrightarrow y_{1}=0, y_{2}=3\sqrt{2}\);    \(x_{1}=-2, x_{2}=4\)

 

\(A=(0,-2),B=(4, 3\sqrt{2})\)

 

Tangenta u tački A se jednostavno određuje jer je postavljena kroz jedno teme hiperbole. Njena jednačina je x=-2.

 

Tangentu u tački B određujemo prema uslovu \(a^2k^2-b^2=n^2\):

 

\(3x^2-2y^2=12/:12\)

 

\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1\)

 

\(a^2=4, b^2=6\);

 

\(y=kx+n\),  \(B=(4,3\sqrt{2})\in y=kx+n\),  \(n=3\sqrt{2}-4k\);

 

\(4k^2-6=18-24k\sqrt{2}+16k^2\)

 

\(k^2-2k\sqrt{2}+2=0\)

 

\((k-\sqrt{2})^2=0\)

 

\(k=\sqrt{2},n =-\sqrt{2}\).

 

Tačku C dobijamo u preseku tangente \(x=-2\) i tangente \(y=\sqrt{2}(x-1)\):

 

\(C=(-2,-3\sqrt{2})\).

 

Površina trougla ABC je:

 

\(P=\frac{3\sqrt{2}\cdot 6}{2}=9\sqrt{2}\).

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za III razred Analitička geometrija Hiperbola Zadatak 0266