Pismeni zadaci

Zadatak 0034

Test: MPsIVKVI_007, MKsIVBGI_073

 

Ako je  \(f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2}\)  odredi  \(f^{-1}(x)\).

 

Rešenje:


\(y=\frac{a^x-a^{-x}}{2}\)

 

\(x=\frac{a^y-a^{-y}}{2}\)  \(\Leftrightarrow 2x=a^y-\frac{1}{a^y}/\cdot a^y \)  \(\Leftrightarrow a^{2y}-2xa^{y}-1=0\)

 

Smenom  \(a^y=t\) imamo:

 

\(t^2-2xt-1=0\)

 

\(t_{1,2}=\frac{2x\pm \sqrt{4x^2+4}}{2}\)

 

\(t_{1}=x+\sqrt{x^2+1}; t_{2}=x-\sqrt{x^2+1}\)

 

Kako je \(\left (\forall x \in \mathbb{R}  \right )x-\sqrt{x^2+1}< 0\) rešenja jednačine po t (iz smene) imamo samo za t1:

 

\(a^y=x+\sqrt{x^2+1}/\log_{a} ()\)

 

\(y=\log_{a}\left ( x+ \sqrt{x^2+1}\right )=f^{-1}(x)\).


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Inverzna funkcija Zadatak 0034