Pismeni zadaci

Zadatak 0900

Test: MDsIVBGI_165

 

Da li je funkcija \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) ograničena na svom domenu?

 

Rešenje:


 

S obzirom da je imenilac uvek pozitivan (dakle, nikada nije nula) domen ove funkcije je skup realinh brojeva, \(D_f=\mathbb{R}\). Ispitujemo ponašanje funkcije na rubovima domena:

$$\lim \limits_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{1}{1+x^2}=0$$

S obzirom da je granična vrednost konačan broj, a funkcija neprekidna, to je onda ona i ograničena.

 

Odredimo granice:

$$y=\frac{1}{1+x^2}$$
$$\Leftrightarrow y+yx^2=1$$
$$\Leftrightarrow yx^2=1-y$$
$$\Leftrightarrow x^2=\frac{1-y}{y}$$
$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1-y}{y}}$$

Vrednosti za x su definisane samo ako je

$$\frac{1-y}{y} \geq 0$$

 
\(y\)
\(1-y\)
\(I\)
 \(-\infty \leftarrow \rightarrow 0\)
---
+++
---
 \(0 \leftarrow \rightarrow 1\)
+++
+++
+++
 \(1\leftarrow \rightarrow +\infty \)
+++
---
---

$$y \in (0,1]$$

$$0<y\leq 1$$
$$0<\frac{1}{1+x^2}\leq 1$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Oblast definisanosti funkcije Zadatak 0900