Zadatak 0902

Test: MDsIVBGI_165

 

Da li je funkcija \(f(x)=\frac{1}{x^2+6x+10}\) ograničena na svom domenu?

 

Rešenje:


Domen funkcije je skup realnih brojeva jer je diskriminanta kvadratne funkcije u imeniocu uvek pozitivna.

Granična vrednost na rubovima je $$\lim \limits_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{1}{x^2+6x+10}=0$$ pa je funkcija ograničena.

Odredimo granice:

$$y=\frac{1}{x^2+6x+10}$$
$$\Leftrightarrow yx^2+6xy+10y-1=0$$
$$x_{1,2}=\frac{-6y\pm \sqrt{36y^2-4y(10y-1)}}{2y}$$

Vrednosti za \(x\) su definisana kada je

$$36y^2-4y(10y-1)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow -4y^2+4y\geq 0$$
$$\Leftrightarrow y(1-y)\leq 0$$

 
\(y\)
\(1-y\)
\(I\)
\(-\infty \leftarrow \rightarrow 0\)
---
+++
---
\(0 \leftarrow \rightarrow 1\)
+++
+++
+++
\(1 \leftarrow \rightarrow +\infty\)
+++
---
---

$$y\in (0,1 ]$$
$$0< y\leq 1$$
$$0< \frac{1}{x^2+6x+10} \leq 1$$