Pismeni zadaci

Zadatak 0804

Test: MKsIVBGI_073

 

Odredi osnovni period i ograničenost funkcije: $$y=\cos ^4x+\sin ^4x$$

 

Rešenje:


 

Transformišemo datu funkciju:

$$y=\cos ^4x+\sin ^4x+2\sin ^2x\cos ^2x-2\sin ^2x\cos ^2x$$

$$=(\sin ^2x+\cos ^2x)^2-2\cdot \frac{1}{4}(2\sin x\cos x)^2$$

$$=1-\frac{1}{2}\sin ^22x$$

$$=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos4x}{2}$$

$$=1-\frac{1-\cos 4x}{4}$$

$$=\frac{3+\cos 4x}{4}$$

 

Funkcija \(y=\frac{3+\cos 4x}{4}\) ima isti period kao i \(\cos x\), pa je

$$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

 

Za ograničenost iskoristimo to što je kosinus ograničena funkcija:

$$-1\leq \cos 4x\leq 1\; /+3$$
$$2\leq 3+\cos 4x\leq 4 \; /:4$$
$$\frac{1}{2}\leq \frac{3+\cos 4x}{4}\leq 1$$
$$\frac{1}{2}\leq y\leq 1$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Periodičnost funkcije Zadatak 0804