Pismeni zadaci

Zadatak 0805

Test: MKsIVBGI_073

 

Odredi osnovni period i ograničenost funkcije: $$y=\cos ^6x+\sin ^6x$$

 

Rešenje:


 

 

Transformišimo izraz kojim je funkcija data:

$$y=\cos ^6x+\sin ^6x=(\cos ^2x)^3+(\sin ^2x)^3$$

$$=(\cos ^2x+\sin ^2x)(\cos ^4x-\cos ^2x\sin ^2x+\sin ^4x)$$

$$=1\cdot (\cos ^4x+2\cos ^2x\sin ^2x+\sin ^4x-3\cos ^2x\sin ^2x)$$

$$=(\cos ^2x+\sin ^2x)^2- 3\cdot \frac{1}{4}(2\sin x\cos x)^2$$

$$=1-\frac{3}{4}\sin ^22x$$

$$=1-\frac{3}{4}\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}$$

$$=1-\frac{3-3\cos 4x}{8}$$

$$=\frac{5+3\cos 4x}{8}$$

 

Funkcija \(y==\frac{5+3\cos 4x}{8}\) ima isti preriod kao i funkcija \( \cos x\) pa je $$T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

 

Za ograničenost iskoristimo to što je kosinus ograničena funkcija:

$$-1\leq \cos 4x\leq 1 \; /\cdot 3$$
$$-3\leq \cos 4x\leq 3 \; /+5$$
$$2\leq 5+\cos 4x\leq 8 \; /:8$$
$$\frac{1}{4}\leq \frac{5+3\cos 4x}{8}\leq 1$$
$$\frac{1}{4}\leq y\leq 1$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Periodičnost funkcije Zadatak 0805