Pismeni zadaci

Zadatak 0806

Test: MKsIVBGI_073

 

Odredi osnovni period i ograničenost funkcije:

$$y=2\sin ^2x-3\sin x-3$$

Rešenje:



Princip je da sve trigonometrijske funcije date u obliku stepena transformišemo tako da budu lineare. Funkciju napišemo u sledećem obliku:

$$y=2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-3\sin x-3$$
$$y=1-\cos 2x-3\sin x-3$$
$$y=-\cos 2x-3\sin x-2$$

Funkcija \(\cos 2x\) ima period \(T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi \), a funkcija \(\sin x\) ima period \(T_2=\frac{2\pi }{1}=2\pi \). Za funkciju \(y\) period je \(NZS (\pi, 2\pi)=2\pi\), tj.

$$T=2\pi$$

Za ograničenost (ako postoji) ili kodomen koristimo činjenicu da je domen inverzne funkcije kodomen polazne funkcije: Odredimo inverz funkcije \(y\):

$$y=2\sin ^2x-3\sin x-3$$
$$2\sin ^2x-3\sin x-3-y=0$$
$$\sin x=\frac{3\pm \sqrt{9+4\cdot 2\cdot (3+y)}}{4}$$
$$x=\arcsin \frac{3\pm \sqrt{33+8y}}{4}$$

Prvi uslov za definisanost ove funkcije je da \(33+8y\geq 0\Leftrightarrow y\geq -\frac{33}{8}\). Drugi uslov je:

$$-1\leq \frac{3\pm \sqrt{33+8y}}{4}\leq 1 \; /\cdot 4$$
$$\Leftrightarrow -4\leq 3\pm \sqrt{33+8y}\leq 4 \; /-3$$
$$\Leftrightarrow -7\leq \pm \sqrt{33+8y}\leq 1$$
Razlikujemo dva slučaja:

1° \(-7\leq - \sqrt{33+8y}\leq 1\)

$$\Leftrightarrow  \sqrt{33+8y}\leq 7\wedge \sqrt{33+8y}\geq -1$$
$$\Leftrightarrow (33+8y\leq 49 \wedge 33+8y\geq 0)\wedge (33+8y\geq 0)$$
$$\Leftrightarrow y\leq 2\wedge y\geq -\frac{33}{8}$$
$$\Leftrightarrow y\in \left [ -\frac{33}{8},2\right ]$$

2° \(-7\leq  \sqrt{33+8y}\leq 1\)

$$\Leftrightarrow \sqrt{33+8y}+7\geq 0 \wedge  \sqrt{33+8y}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow (33+8y\geq 0)\wedge (33+8y\leq 1 \wedge 33+8y\geq 0)$$
$$\Leftrightarrow y\geq -\frac{33}{8}\wedge (y\leq -4\wedge y\geq -\frac{33}{8})$$
$$\Leftrightarrow y\in \left [ -\frac{33}{8},-4 \right ]$$

Unija skupova u ova dva slučaja je konačno rešenje. Dakle $$y\in \left [ -\frac{33}{8},2\right ]$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Periodičnost funkcije Zadatak 0806