Pismeni zadaci

Zadatak 0861

Test: MKsIVBGI_073

 

Bez korišćenja Lopitalovog pravila izračunati granične vrednosti funkcija:$$\lim \limits_{x \to 1 }\left ( \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}} \right )$$

 

Rešenje:


 Da bismo lakše uprostili izraz uvedimo smenu:

$$\sqrt[6]{x}=t \; /(...)^2 \: /(...)^3$$
$$\sqrt[3]{x}=t^2$$
$$\sqrt{x}=t^3$$

Sada je

$$ \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}=\frac{3}{1-t^3}-\frac{2}{1-t^2}$$

$$=\frac{3}{(1-t)(1+t+t^2)}-\frac{2}{(1-t)(1+t)}=\frac{3(1-t)-2(1+t+t^2)}{(1-t)(1+t+t^2)(1+t)}$$

$$=\frac{1+t-2t^2}{(1-t)(1+t+t^2)(1+t)}=\frac{(2t+1)(1-t)}{(1-t)(1+t+t^2)(1+t)}$$

$$=\frac{2t+1}{(1+t+t^2)(1+t)}$$

Ako "vratimo" smenu i sve to uvrstimo u limes dobijamo rešenje:

$$\lim \limits_{x \to 1 }\left ( \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}} \right )$$

$$=\lim \limits_{x \to 1 }\frac{2\sqrt[6]{x}+1}{(1+\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x})(1+\sqrt[6]{x})}$$

$$=\frac{2+1}{3\cdot 2}=\frac{1}{2}$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Granična vrednost funkcije Zadatak 0861