Pismeni zadaci

Zadatak 0863

Test: MKsIVBGI_073

 

Bez korišćenja Lopitalovog pravila izračunati granične vrednosti funkcija: $$\lim \limits_{x \to 1 }\frac{\sqrt[3]{7+x^3}-\sqrt{3+x^2}}{x-1}$$

 

Rešenje:


 

Najpre uočimo da važi formula:

$$a^6-b^6=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$$

odnosno:
$$a-b=\frac{a^6-b^6}{a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5}$$

Neka je \(a=\left ( (7+x^3)^2 \right )^{\frac{1}{6}}, b=\left ( (3+x^2)^3 \right )^{\frac{1}{6}}\). Radi lakšeg kasnijeg računanja uprostimo sledeće stepene:

\(a^5=\left ( (7+x^3)^{\frac{1}{3}} \right )^5=(7+x^3)^{\frac{5}{3}}\)
\(a^4=\left ( (7+x^3)^{\frac{1}{3}} \right )^4=(7+x^3)^{\frac{4}{3}}\)
\(a^3=\left ( (7+x^3)^{\frac{1}{3}} \right )^3=(7+x^3)\)
\(a^2=\left ( (7+x^3)^{\frac{1}{3}} \right )^2=(7+x^3)^{\frac{2}{3}}\)
\(b^2= (3+x^2)\)
\(b^3=(3+x^2)^{\frac{3}{2}}\)
\(b^4=(3+x^2)^2\)
\(b^5=(3+x^2)^{\frac{5}{2}}\)

Sada treba izračunati:

$$\lim \limits_{x \to 1 }\frac{a-b}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1 }\frac{1}{x-1}\cdot \frac{a^6-b^6}{a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5}$$

Pojednostavimo i vratimo se premenljivoj x:

$$a^6-b^6=(7+x^3)^2-(3+x^2)^3$$

$$=49+14x^3+x^6-27-27x^2-9x^4-x^6$$

$$=-9x^4+14x^3-27x^2+22$$

$$=(x-1)(-9x^3+5x^2-22x-22)$$

jer je polinom \(-9x^4+14x^3-27x^2+22\) deljiv sa \(x-1\).

Napokon:

$$...=\lim \limits_{x \to 1 }\frac{1}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(-9x^3+5x^2-22x-22)}{a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5}$$

$$=\lim \limits_{x \to 1 }\frac{-9x^3+5x^2-22x-22}{(7+x^3)^{\frac{5}{3}}+(7+x^3)^{\frac{4}{3}} (3+x^2)^{1/2}+(7+x^3)(3+x^2)+(7+x^3)^{\frac{2}{3}}(3+x^2)^{\frac{3}{2}}+(7+x^3)^{\frac{1}{3}}(3+x^2)^2+(3+x^2)^{\frac{5}{2}}}$$

$$= \frac{-9+5-22-22}{32+16\cdot 2+8\cdot 4+4\cdot 82\cdot 16+32}=-\frac{48}{192}=-\frac{1}{4}$$


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Granična vrednost funkcije Zadatak 0863