Pismeni zadaci

Zadatak 0864

Test: MKsIVBGI_073

 

Bez korišćenja Lopitalovog pravila izračunati granične vrednosti funkcija: $$\lim \limits_{x \to -2 }\frac{\sqrt[4]{x+3}-\sqrt[3]{5-x^2}}{x^2-4}$$

 

Rešenje:


 

Najpre uočimo da važi formula:

$$a^{12}-b^{12}=(a-b)(a^{11}+a^{10}b+a^9b^2+...+ab^{10}+b^{11})$$

odnosno:
$$a-b=\frac{a^{12}-b^{12}}{a^{11}+a^{10}b+a^9b^2+...+ab^{10}+b^{11}}$$

Neka je \(a=\left ( (x+3)^3 \right )^{\frac{1}{12}}, b=\left ( (5-x^2)^4 \right )^{\frac{1}{12}}\).

Sada treba izračunati:

$$\lim \limits_{x \to -2 }\frac{a-b}{x^2-4}=\lim \limits_{x \to 1 }\frac{1}{x^2-4}\cdot \frac{a^{12}-b^{12}}{a^{11}+a^{10}b+a^9b^2+...+ab^{10}+b^{11}}$$

Pojednostavimo i vratimo se premenljivoj x:

$$a^{12}-b^{12}=(x+3)^3-(5-x^2)^4$$

$$=x^3-9x^2+27x+27-625+500x^2-150x^4+20x^6-x^8$$

$$=-(x+2)(x^7-2x^6-16x^5+32x^4+86x^3-173x^2-163x+299)$$

jer je polinom \(-x^8+20x^6-150x^4+x^3+509x^2+27x-598\) deljiv sa \(x+2\).

Napokon:

$$...=\lim \limits_{x \to -2 }\frac{1}{(x-2)(x+2)}\cdot  \frac{a^{12}-b^{12}}{a^{11}+a^{10}b +a^9b^2 +...+ab^{10}+b^{11}}$$

$$=\lim \limits_{x \to -2 }\frac{-(x+2)(x^7-2x^6-16x^5+32x^4+86x^3-173x^2-163x+ 299)}{(x-2)(x+2)(a^{11}+a^{10}b+a^9b^2+...+ab^{10}+b^{11})}$$

$$=\frac{-(-128-128+16\cdot 32+32\cdot 16-86\cdot 8-173\cdot 4+163\cdot 2+299)}{-4\cdot (1+1+1+...+1)}=\frac{13}{48}$$


 


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Granična vrednost funkcije Zadatak 0864