Pismeni zadaci

Zadatak 0030

Test: MPsIVKVIII_006

 

Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik:  \( y=\frac {-4x+x^2+4}{x-1}\).


Rešenje:

 

 

1) Domen.  \(x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty ,1 \right )\cup \left ( 1,+\infty  \right )=D_{f}\)

 

2) Parnost.  \(f(-x)=\frac{x^2+4x+4}{-x-1}\neq \pm f(x)\) pa funkcija nije ni parna ni neparna.

 

3) Nule i znak funkcije.

 

\(y=0\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0\Leftrightarrow x=2\). Nula funkcije je tačka N=(0, 2).

slika a uz zadatak 30

 

\(x\in \left ( -\infty ,1 \right )\Rightarrow y< 0\)  i

 

\(x\in \left (1, +\infty \right )\Rightarrow y> 0\).

 

 

4. Asimptote.

a) Vertikalna asimptota: \(\lim_{x \to 1\pm \varepsilon }\frac{x^2-4x+4}{x-1}=\frac{1}{\pm \varepsilon}=\pm \infty \).

 

Fukcija ima vertikalnu asimptotu čija je jednačina \( x=1 \).

 

b) Kosa asimptota.

 

\(k=\lim_{x \to \infty  }\frac{x^2-4x+4}{x^2-x}=\lim_{x \to \infty }\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=1\)

 

\(n=\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{x^2-4x+4}{x-1}-x \right )=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-4x+4-x^2+x}{x-1}\)

 

\(=\lim_{x \to \infty }\frac{-3x+4}{x-1}=\lim_{x \to \infty }\frac{-3+\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}=-3\)

 

Funkcija ima i kosu asimptotu (a onda nema horizontalnu asimptotu) čija je jednačina  \(y=x-3\)

 

5. Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije.

 

\(y'=\frac{(2x-1)(x-1)-1\cdot (x^2-4x+4)}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-4x+4-x^2+4x-4}{(x-1)^2}\)

 

\(=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)

 

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=2\).

 

 

Tačka E1 (0,4) je maksimum funkcije, a tačka E2 (2, 0) je minimum funkcije.

 

 

 

 

6. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke.

 

\(y''=\frac{(2x-2)(x-1)^2-2(x-1)(x^2-2x)}{(x-1)^4}=\frac{(x-1)\left [ 2(x-1)(x-1)-2(x^2-2x) \right ]}{(x-1)^4}\)

 

\(=\frac{2x^2-4x+2-2x^2+4x}{(x-1)^3}=\frac{2}{(x-1)^3}\)

 

\((\forall \in D_{f}) y''\neq 0 \)  pa funkcija nema prevojnih tačaka.

tabliza znaka drugog izvoda

 

 

 

\(x\in (-\infty ,1)\Rightarrow y\frown \)

 

\( x\in (1, +\infty )\Rightarrow y\smile\)

 

 

 

7. Grafik

Grafik funkcije

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Funkcije Ispitivanje toka funkcije Zadatak 0030