Pismeni zadaci

Zadatak 1026

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Par realnih brojeva \((x,y)\) zadovoljava uslov: $$(x+y)^2=(x+3)(y-3)$$

Vrednost izraza \( x^2+y^2\) je:

a) \(8\);          b) \(13\);         c) \(18\);         d) \(20\);         e) nešto drugo.

Rešenje:


Napišimo datu jednakost ovako:

$$...\Leftrightarrow x^2 + 2xy+ y^2=xy-3x+3y-9$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^2+xy+3x-3y+9=0$$

U pitanju je neka vrsta konusnog preseka sa, recimo, "zakrivljenim" osama. Uvedimo smenu \(x=a+b, y=a-b\):

$$(a+b)^2+(a-b)^2+(a+b)(a-b)+3(a+b)-3(a-b)+9=0$$
$$\Leftrightarrow  3a^2+b^2+6b+9=0$$
$$\Leftrightarrow 3a^2+(b+3)^2=0$$

Poslednja jednakost je tačna samo ako su oba dela izraza jednaka nuli, s obzirom da oba imaju "kvadrat broja". Iz \(a=0, b=-3\) biće jedninstveno rešenje \(x=-3,y=3\), pa je \(x^2+y^2=18\).

Tačan odgovor je c).


 

Vi ste ovde: Home Zbirke zadataka Srednja Za IV razred Nestandardni zadaci Zadatak 1026