Zadatak 1047

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

Različitih desetoslovnih reči koje se mogu napisati pomoću slova: \(M,A,T,E,M,A,T,I,K,A\) ima:

a) \(10!\);          b) \(9!\);        c) \(9\cdot 9!\);        d) \(10^{10}\);        e) \(\frac{10!}{4!}\).

Rešenje:


Među datim slovima ima po dva slova M i T, tri slova A i po jedno slovo E, I i K. Ako bi sva slova bila različita, onda bi bilo \(10!\) različitih desetoslovnih reči. U svakoj od tih reči nebitan je raspored dva slova M, pa je zbog toga broj različitih reči dva puta manji. Slično je, i zbog dva slova T; broj različitih reči je dva puta manji. Takođe je u svakoj od tih reči nebitan raspored tri slova A, pa je zbog toga broj različitih reči \(3!=6\) puta manji. Svaki rasporeds lova naziva se permutacija sa ponavljanjem od 10 elemenata, pri čemu se 2, 2 i 3 elementa ponavljaju. Njih ima

$$P_{2,2,3}(10)=\frac{10!}{2!2!3!}=\frac{10!}{4!}$$

Tačan odgovor je e).

U opštem slučaju, permutacija sa ponavljanjem od \(n\) elemenata, takvih da se \(k_1,k_2,...k_l\) ponavljaju ima $$P_{k_1,k_2,...k_l}=\frac{n!}{k_1!k_2!...k_l!}$$