Zadatak 1059

Priprema za prijemni za "tehničke" fakultete (ETF, MatF, MašF, Fon, SF, TMF,...)

U poslastičarnici ima 4 vrste kolača (broj kolača svake vrste veći je od 6). Na koliko načina možemo u toj poslastičarnici pojesti 7 kolača (nije bitno kojim će se redom jesti kolači, već koliko će se kolača koje vrste pojesti)?

a) \(150\);           b) \(40\);          c) \(50\);          d) \(110\);          e) \(120\).

Rešenje:


Napišimo šifru koja će označavati koliko smo koje vrste kolača pojeli. Prvo napišemo onoliko slova \(K\) koliko smo pojeli kolača prve vrste. Zatim napišemo slovo \(V\) koje označava da smo popili čašu vode, pre nego što počnemo da jedemo kolače druge vrste (da ne mešamo ukuse kolača), a zatim onoliko slova \(K\) koliko smo pojeli kolača druge vrste. Posle napišemo slovo \(V\) i onoliko slova \(K\) koliko smo pojeli kolača treće vrste. Na kraju, napišemo slovo \(V\) i onoliko slova \(K\) koliko smo pojeli kolača četvrte vrste, itd. (Samo u zadatku iz matematike možeš da pojedeš 7 kolača, 5 kg jabuka, ili popiješ 20 litara soka,... Važi ☺)

Tako, na primer, šifra \(KKVKVKVKKK\) znači da smo pojeli 2 kolača prve, 1 druge, 1 treće i 3 četvrte vrste, a \(KKKKKKVVVK\) znači da smo pojeli 6 kolača prve i jedan kolač četvrte vrste (da bi bilo jasno da se radi o 1 kolaču četvrte vrste u nizu stoje tri slova V). Različitih načina jedenja kolača ima onoliko koliko se može napisati različitih reči pomoću 7 slova \(K\) i 3 slova \(V\), a to su permutacije sa ponavljanjem. U ovom zadatku reč je o kombinacijama 7. klase od 4 elementa.

Njih je $$\overline{C}_{7}^{4}=P_{7,3}(10)=\frac{10!}{7!3!}=120$$

Tačan odgovor je e).